SOLUTION DU BUREAU D'ETUDES N° 1

SATELLITE D'IMAGERIE SPATIALE

CONTENU : Mis à jour nov 1999 et nov 2003

Détermination de l'orbite

Etude des traces au sol

Calculs annexes

Calcul de paramètres orbitaux

Débit de télémesure

Taux de descente journalier

DETERMINATION DE l'ORBITE

1°) Altitude maximum.:

La résolution de 10 m impose que l'image d'un détail dL= 10 m au sol apparaisse dans le plan focal de l'optique équivalente à une lentille convergente, sur au moins un pixel.

Un calcul simple de triangles semblables donne:

2°) Calcul de la période de répétitivité et du nombre minimal d'orbites :

Nous savons que TR est un nombre entier de jours, en effet le phasage impose à to et to+TR, le passage au dessus d'un même point physique de la terre, à la même heure locale de ce point. Il s'est donc écoulé un nombre entier de jours solaires moyens de 86400 secondes.

Si Z est l'altitude à choisir et pour l'instant inconnue du satellite, nous pouvons calculer en fonction de Z, la largeur de bande maximale vue par l'optique ( en oubliant la rotondité de la Terre).

Et compte tenu de la condition de recouvrement des axes de visée et du recouvrement de 7.5 km de 2 traces adjacentes correspondant à 2 passages différents. Nous gardons les mêmes notations:

Le nombre minimal de traces est donc

La période képlérienne sur cette orbite est donc:

Pour une valeur de Z, la période de répétitivité est alors le le nombre entier supérieur ou égal à n(Z)T(Z)/86400, puisque k est un nombre entiers de jours solaires moyens.

donc les possibilités sont : k = 26, 27,........., 41

On peut affiner sur l'intervalle 800-833 km. Il est clair que la valeur minimale entre 806 et 833 km est

k=26 jours. Valeur adoptée par le CNES

Le calcul de n(Z) minimal à chaque altitude donne le graphe suivant

On constate donc dans l'intervalle 806-833 que 358< n <373.

Nous pourrions étudier finement toutes les possibilités et qualités des couples (26 , n), en éliminant d'abord pour n les nombres pairs et les multiples de 13, il resterait alors : n = 359, 361, 363, 365, 367,369, 371

Le CNES a choisi n=369 orbites, pour des raisons que nous expliquons mais qui sont difficiles à maîtriser. Comme celle qui suit:

SOUS CYCLE DE REPETITIVITE:

Si on écrit que le moyen mouvement n* est (en orbites/jour):

q est le reste de la division entière de n par k.

S'il existe un entier r tel que 2< r < k-2 et que rq soit congru à 1 ou -1 modulo k, alors le nombre d'orbites parcourues en r jours est :

ce qui signifie qu'il existe un nombre entier r de jours tel qu'au cours de ce temps le satellite a pratiquement parcouru un nombre entier de révolutions ici à 1/26 ème d'orbite près. Ce nombre r est un sous cycle de répétitivité intéressant car plus petit que k mais naturellement avec un maillage plus grand.

NB: L'étude arithmétique de ce problème a été faite avec une fonction spécialement conçue sous Matlab y=s_cycle(n,k)

Le résultat est que le plus petit sous cycle est obtenu pour n=369 avec k=26, sa valeur est r = 5 jours, ce qui sera vérifié par un calcul pratique des positions des traces.

SOUS CYCLE DE 5 jours :

CHOIX DEFINITIF n=369 orbites pour un cycle de k=26 jours

3°) Calcul de a, Z, i :

La période nodale vaut exactement TN = k jours/ns orbites = 26x86400/369=6087.805 s

TN = 6087.8 secondes

Partant de la période nodale TN connue et calculée en termes de perturbations et en éliminant cosi grâce à la relation d'héliosynchronisme, il vient une équation F(a)=0 dont la résolution donne a :

 

 

Conclusions: a = 7200.54 km

Orbite képlérienne: a = 7200.54 km TK = 6080.8 s, i = 98°.699=98°.7

NB: un calcul du CNES pour ce satellite, tenant compte des perturbations gravitationnelles jusqu'à J6, a donné a = 7200.55 km . Nous confirmons donc parfaitement les calculs.

ETUDE DES TRACES AU SOL :

1°) Lois des longitudes des nœuds :

Si à t1 le satellite passe au nœud N, alors à chaque période nodale le satellite repasse en N. La ligne des nœuds dérive par rapport à Greenwich à la vitesse angulaire:

Comme L1 est la longitude du nœud au temps t1, il vient:

2°) Ecart entre les traces de 2 orbites consécutives.:

Deux orbites consécutives correspondent à deux instants distants de la période nodale TN.

La relation de 1°) donne

Pour 2 jours consécutifs et le même n° d'orbite, il s'est écoulé 14 orbites entières de période TN.

Pour les jours J et J+5 et les n° k et k+1 respectivement, il s'est écoulé 5x14 +1 =71 orbites donc

Ce qui donne le maximum de l'intertrace à l'équateur d = 108.44 km.

Ainsi tous les 5 jours il est possible de passer au plus près d'une trace déjà survolée et donc de refaire des prises de vue. Un même site est donc visible à J-10, J-5, J, J+5, J+10 ce qui est d'un très grand intérêt.

3°) Possibilités d'inclinaison de l'axe de visée :

Le système optique embarqué permet une inclinaison de l'axe de visée de 27° de part et d'autre de la verticale. Ce qui correspond à un déport latéral au sol de 822 x tg(27°) = 419 km. Comme deux traces adjacentes sont distantes de 108.4 km, il est possible de voir un même site les jours J,J+5, J+10, et J-5, J-10, donc 5 fois au cours d'un peu plus d'un cycle.

Cette possibilité autorise les prises de vue stéréoscopiques et donc la reconstitution de l'altitude et du relief.

CALCULS ANNEXES

I CALCUL DES PARAMETRES D'INJECTION DE NOTRE LANCEUR ARIANE IV.:

Sur les abaques concernant Ariane 40, on lit en correspondance avec l'altitude Z = 822 km valeur réelle de Spot:

La latitude de l'injection lo = 35°.25

La longitude Lo de l'injection Lo = -59°.96

La longitude Greenwich WG = -53°.83 du nœud ascendant N, à l'instant to de l'injection. Une petite erreur de 0°.05 due à la lecture est inévitable.

Le calcul de l'heure To d'injection demande un travail important et délicat.

Tout d'abord l'heure locale souhaitée lors du survol au nœud descendant est stricte et imposée t(N*) = 10 h 30 mn.

La relation sinls = sini . sin(q+w) donne l'angle NOSo=q+w=35°.72. Il reste donc, pour survoler le noeud ascendant, à parcourir 324°.28, ce qui connaissant l'orbite et la période demande environ 5484 s = 1h 31 mn 24 s après l'injection.

Survol du premier nœud ascendant à To+1 h 31 mn24 s.

Vue l'injection réalisée hémisphère nord, le survol du premier nœud descendant a lieu une demi période nodale soit 6088/2=3044 s=50 mn 44 s avant, c'est à dire T1=To+40 mn 40s=.

Comme à To, la longitude Greenwich du nœud ascendant est WG(To) = -53°.83, celle du nœud descendant est de 180° plus grande soit 126°.17

A l'instant T1, la longitude Greenwich du nœud descendant ( compte tenu de l'héliosynchronisme), s'obtient en considérant que la Terre tourne sur elle même en 24 heures ( et non 86164 secondes), donc cette longitude vaut :

WG(T1) = WG(To) -360*(T1-To)/86400= -53°.83-10°.17=64°

Lorsque le satellite survole cette longitude de 64°, il est alors 22 h 30 mn en temps local, ce qui donne le temps T1 universel:

On peut donc en déduire l'heure TU de l'injection : To = T1 - 40 mn 40 s =2 h 05 mn 20 s

Tir depuis Kourou et injection le 16 mars 1996 à 2 h 05 mn 20 s TU à la latitude lo = 35°.25 et longitude Lo = -59°.96

Calcul de W à To :

Naturellement comme la ligne des nœuds dérive, on ne peut donner W qu'à un instant précis.

Par exemple à l'injection To = 16 mars 1996 à 2 h 05 mn 20 s TU.

De même, on pourrait donner la date de survol du nœud descendant la première fois 16 mars 1996 à 2 h 46 mn.

Aussi celle de survol du nœud ascendant, pour la première fois: TN1=16 mars 1996 à 4 h 17 mn 24 s.

Le calcul de W donne alors

PARAMETRES ORBITAUX DU SATELLITE :

a = 7200.6 km e=0 i = 98°.72 w = 0° W = 151°.15 jo = 35°72 Injection à to = 2 h 05 mn 20 s

On est alors amené à caractériser le satellite avec le code Two Lines de la NASA ou du Norad

__________________________________________

SPOT

1 103U 96 76.08777777 .00000000 000000-0 000000-0 0 1315

2 103 98.7170 151.7166 0000001 0.0000 35.7200 14.20836400 15 ___________________________________________

Une simulation avec le Two Lines et un logiciel adapté ( par exemple Traksat ou STK )montrerait clairement sur la carte ci-dessus des points survolés:

Le point d'injection (latitude-longitude) Le sens du tir vers le nord-ouest.

L'heure de l'injection

L'heure locale de 10 h 30 mn au nœud descendant (positions du satellite et du soleil)

L'heure TU de premier passage au nœud descendant

L'heure TU de premier passage au nœud ascendant

Que la station de télémesure de Toulouse est survolée par l'orbite n° 6 (du jour 0) puis par la n°20 (n° 6 du jour 1) . On peut pratiquement obtenir l'heure de passage si le pas de la simulation est pris assez petit.

Déduire alors la loi d'évolution de la longitude du nœud descendant en fonction de la date TU.:

Le nœud ascendant a pour longitude Greenwich WG = -53°83 à 2 h 05 mn 20 s TU le 16 mars 1996

Le nœud descendant n° 1 à 180° du nœud ascendant, est survolé à :

T(N1) = 2h46mn + Tn/(2*3600) = 2h46mn + 6087.805/(2*3600) = 3h36mn44s

C'est bien 64 s avant le résultat des précédents calculs . La longitude du nœud descendant est de 180°-53.83 = 126°.17

Autre point de vue, en calculant les longitudes lors du survol effectif du nœud descendant :

Le satellite passe du point d'injection à celui où il traverse l'équateur en environ 2440s.

La loi serait alors 141,366°-25.3658° * n avec le temps donné par:

n est le numéro d'orbite et

T=6416.2 s +6087.8*n en temps TU à partir du 16 mars 1996

Pour l'orbite n° 6 cette longitude vaut: L(6) = - 0.66. On voit donc à ce simple résultat et au fait que l'orbite est presque polaire que la station de Toulouse a été pratiquement survolée quelques minutes avant le nœud descendant n°6, puisque ce nœud descendant est près de Greenwich.

II DEBIT DE TELEMESURE :

L est la largeur sol photographiée, Vs la vitesse de balayage sol du satellite, r le nombre de bits de codage d'un pixel, dx la dimension sol d'un pixel.

La vitesse sol de balayage est:

La fréquence de prise de vue (échantillonnage ou temps de pose) est donc:

Une barrette contient un nombre de pixels

Le codage nécessite donc par seconde un nombre de bits (débit) égal à:

III ETUDE DU TAUX DE DESCENTE :

Sous l'effet de l'atmosphère résiduelle, naturellement de densité extrêmement petite (3 10-14 km/m3), mais pour une vitesse très important de l'ordre de 7700 m/s, la perturbation due à la traînée doit être prise en compte. Elle ne joue que sur le demi-grand axe ou rayon qui diminue constamment, ce qui crée un paradoxe: la traînée a pour conséquence une croissance de la vitesse (vous chercherez l'origine de l'énergie cinétique gagnée!!!).

Le théorème de l'énergie cinétique donne:

Tous calculs réalisés on obtient une relation simple (pour l'orbite quasi circulaire):

Comme a est très lentement variable, on suppose a constant , ce qui donne numériquement un taux de descente:

C'est naturellement très faible. Cependant la variation de a entraîne une variation de période nodale et donc des écarts à l'héliosynchronisme et au phasage, donc un décalage de la longitude du nœud ascendant par rapport aux prévisions.

On suppose que seul le demi-grand axe a varie entraînant les conséquences calculées ci-dessous:

Le lecteur rétablira les maillons manquants dans les calculs:

Par mois (86400 x 30 s) la trace se décale de Dx = 60 m, l'effet parabolique ne se fait donc sentir que sur des temps importants ( par exemple 400 jours, DZ=1000 m, DX = 10.66 km)

DECALAGE DE 60 m/mois

NB: Vous vous convaincrez aisément que vous venez de redéfinir la mission SPOT, qui a parfaitement fait ses preuves. En 2003, c'est la cinquième génération de SPOT qui vole, avec des progrès considérables accomplis dans la définition et l'analyse des images.

 

Fonctions et programmes MATLAB

----------------------------------------------

function y=s_cycle(n,k);

% n nombre entier d'orbites dans le cycle

% k nombre entier de jours du cycle

% reste de la division de n par k

q=rem(n,k);

% initialisation

y='pas de sous cycle';

for r=2:k-2, % Elimination de r=1 et r=k-1

reste=rem(r*q,k);

if (reste==1)|(reste==k-1),

y=r;

break

end

end

end

----------------------------------------------

%PROGRAMME SPOT1M

% CALCUL DE LA PERIODE DE REPETITIVITE

mut=39.86e4;

rt=6378;

% Intervalle des altitudes

z=500:0.1:835;

% Periode satellite

T=2*pi*(rt+z).^1.5/mut^0.5;

% Nombre entier d'orbites pour le recouvrement

n=fix(2*pi.*rt./(0.14336*z-7.5));

if (n-2*pi.*rt./(0.14336*z-7.5))>0,

n=n+1;

end

% Calcul de la repetitivite

y=fix(n.*T/86400);

if (n.*T/86400-y)>0,

y=y+1;

end

 

% CALCUL DU NOMBRE DE TRACES MINIMAL RECOUVRANT LA TERRE

mut=39.86e4;

rt=6378;

z=800:0.1:835;

T=2*pi*(rt+z).^1.5/mut^0.5;

n=fix(2*pi.*rt./(0.14336*z-7.5));

if (2*pi.*rt./(0.14336*z-7.5)-n)>0,

n=n+1;

end

% Trace de la courbe

plot(z,n,'b');

grid

title('NOMBRE DE PERIODES n(Z) FONCTION DE Z en km')

xlabel('Z km')

ylabel('NOMBRE PERIODES')

cinvert

end

FIN DU BE, Guiziou novembre 99 et déc 2003